مستطیل

مستطیل، متوازی الاضلاعی است که یک زاویه ی 90 درجه دارد.

قضیه 5

در هر مستطیل، دو قطر باهم برابر و منصف یکدیگرند.

قضیه 6

متوازی الاضلاعی که دو قطر برابر دارد، مستطیل است.

فرض: \(\begin{array}{l}ABCD\\AC = BD\end{array}\)

حکم: ABCD مستطیل است.

\(\begin{array}{l}DC = DC\\\\AD = BC\\\\AC = BD\\\\ \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta C \cong B\mathop D\limits^\Delta C \Rightarrow \hat D = \hat C \Rightarrow D + C = {180^0} \Rightarrow \hat D = \hat C = {90^0}\end{array}\)

قضیه 7

در هر مثلث قائم الزاویه، میانه ی وارد بر وتر، نصف وتر است.

برهان: میانه AM را به اندازه خودش تا D امتداد داده و از D به B و C وصل می کنیم:

\(\begin{array}{l}AM = DM\\\\BM = CM\\\\ \Rightarrow ABCD \Rightarrow \hat A = {90^0} \Rightarrow AD = BC\\\\ \Rightarrow 2AM = BC \Rightarrow AM = \frac{{BC}}{2}\end{array}\)

عکس قضیه 7

اگر در مثلثی، میانه وارد بر یک ضلع، نصف آن ضلع باشد، آنگاه مثلث قائم الزاویه است.

قرار می دهیم: \(\begin{array}{l}\hat C = \alpha \Rightarrow MA = MC \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat C = \alpha \\\hat B = \beta \Rightarrow MA = MB \Rightarrow {{\hat A}_2} = \hat B = \beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta C:\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow 2\alpha + 2\beta = 180\\\\ \Rightarrow \alpha + \beta = 90 \Rightarrow \hat A = \alpha + \beta = 90\end{array}\)

قضیه 8

در مثلث قائم الزاویه، اگر یک زاویه 30 درجه باشد، آنگاه ضلع رو به رو به زاویه ی 30 درجه نصف وتر است.

فرض: \(\hat C = {30^0}\)

حکم: \(AB = \frac{{BC}}{2}\)

برهان: میانه AM را رسم می کنیم

\(\begin{array}{l}\hat C = {30^0} \Rightarrow \hat B = 90 - \hat C = 90 - 30 = 60 \Rightarrow \hat B = {60^0}\\\\\hat C = {30^0} \Rightarrow MA = MC \Rightarrow {{\hat A}_1} = {30^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_2} = 90 - {{\hat A}_1} = 90 - 30 = 60 \Rightarrow {{\hat A}_2} = {60^0}\\\\A\mathop B\limits^\Delta M:\hat B = {60^0} \ , \ {{\hat A}_2} = {60^0} \Rightarrow \hat M = {60^0} \Rightarrow AB = BM = \frac{{BC}}{2}\end{array}\)

عکس قضیه 8

در مثلث قائم الزاویه، اگر یک ضلع نصف وتر باشد، آنگاه زاویه ی رو به رو به این ضلع 30 درجه است.

فرض: \(AB = \frac{{BC}}{2}\)

حکم: \(\hat C = {30^0}\)

برهان: میانه AM را رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}AB = AM = BM = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta M\\ \Rightarrow \hat B = {60^0}\ , \ \hat C = {30^0}\end{array}\)